完整模板示例

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  // paper: a3,
  mode: EXAM
)

#outline() // 目录
#chapter[2025新高考I卷]
#title[2025新高考I卷]
#subject[数学]
#secret()

#notice(
  [答题前，请务必将自已的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.],
  [请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.],
  [作答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.],
  [本试卷共4页，满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.],
)
= 单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
#question[
  $(1 + 5i)i$ 的虚部为 #paren[]
  #choices([$-1$], [$0$], [$1$], [$6$])
]
#question[
  集合 $U = {x | x "为小于9的正整数" }$, $A = {1,3,5}$, 则 $C_U A$ 中的元素个数为 #paren[]
  #choices([$0$], [$3$], [$5$], [$8$])
]
#question[
  若双曲线 $C$ 的虚轴长为实轴长的 7 倍，则 $C$ 的离心率为 #paren[]
  #choices([$sqrt(2)$], [$2$], [$sqrt(7)$], [$2sqrt(2)$])
]
#question[
  若点 $(a,0) (a > 0)$ 是函数 $y = 2tan(x - pi / 3)$ 的图象的一个对称中心，则 $a$ 的最小值为 #paren[]
  #choices([$30°$], [$60°$], [$90°$], [$135°$])
]
#question[
  设 $f(x)$ 是定义在 $bb(R)$ 上且周期为 2 的偶函数，当 $2 <= x <= 3$ 时，$f(x) = 5 - 2x$，则 $f(-3 / 4 ) =$ #paren[]
  #choices([$-1 / 2$], [$-1 / 4$], [$1 / 4$], [$1 / 2$])
]
#question[
  已知视风速是真风速和船风速的和向量，船风速与船行驶速度大小相等，方向相反.则真风速等级是 #paren[]
  #text-figure(
    text: choices(
      column: 1,
      [轻风 (1.6$tilde$3.3 m/s)],
      [微风 (3.4$tilde$5.4 m/s)],
      [和风 (5.5$tilde$7.8 m/s)],
      [劲风 (8.0$tilde$10.7 m/s)],
    ),
    image("2025-1-6.png", width: 50%),
  )
]
#question[
  若圆 $x^2 + (y + 2)^2 = r^2 (r > 0)$ 上到直线 $y = sqrt(3)x + 2$ 的距离为 1 的点有且仅有 2 个，则 $r$ 的取值范围是 #paren[]
  #choices([(0, 1)], [(1, 3)], [(3, +∞)], [(0, +∞)])
]
#question[
  若实数 $x, y, z$ 满足 $2 + log_2 x = 3 + log_3y = 5 + log_5 z$，则 $x, y, z$ 的大小关系不可能是 #paren[]
  #choices([$x > y > z$], [$x > z > y$], [$y > x > z$], [$y > z > x$])
]
= 多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.

#question[
  在正三棱柱 $A B C-A_1B_1C_1$ 中，$D$ 为 $B C$ 中点，则 #paren[]
  #choices([$A D perp A_1C$], [$B_1C perp "平面" A A_1D$], [$C C_1 parallel "平面" A A_1D$], [$A D parallel A_1B_1$])
]
#question[
  设抛物线 $C: y^2 = 6x$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 的直线交 $C$ 于$A、B$，过 $F$ 且垂直于 $A B$的直线交准线 $l$: $y = -3 / 2x$ 于 $E$，过点$A$作准线的垂线，垂足为$D$，则 #paren[]
  #choices([$|A D| = |A F|$], [$|A E| = |A B|$], [$|A B| >= 6$], [$|A E| dot |B E| >= 18$])
]
#question[
  已知 $triangle A B C$ 的面积为 $1 / 4$，若 $cos 2A + cos 2B + cos 2C = 2,cos A cos B sin C = 1 / 4$，则 #paren[]
  #choices([$sin C = sin^2 A + sin^2 B$], [$A B = sqrt(2)$], [$sin A + sin B = sqrt(6) / 2$], [$A C^2 + B C^2 = 3$])
]
= 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
#question[
  若直线 $y = 2x + 5$ 是曲线 $y = e^x + x + a$ 的切线，则 $a =$#fillin[].
]
#question[
  若一个正项等比数列的前 4 项和为 4，前 8 项和为 68，则该等比数列的公比为 #fillin[].
]
#question[
  一个箱子里有 5 个球，分别以 1$tilde$5 标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个数 $X$，则 $E(X) =$#fillin[].
]
= 解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
#question(points: 13, bottom: 2in)[
  为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下的列联表：
  #align(center)[
    #table(
      columns: 4,
      [], [正常], [不正常], [合计],
      [患该疾病], [20], [180], [200],
      [未患该疾病], [780], [20], [800],
      [合计], [800], [200], [1000],
    )
  ]
  + 记超声波检查结果不正常者患有该疾病的概率为$p$，求$p$的估计值；
  + 根据小概率值$alpha=0.001$的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.

  #text-figure(text: [ 附：$chi^2 = n(a d - b c)^2 / ((a + b)(c + d)(a + c)(b + d))$.], figure-x: 1in, table(
    columns: 4,
    [$P(chi^2 >= k)$], [0.005], [0.010], [0.001],
    [$k$], [3.841], [6.635], [10.828],
  ))
]
#question(points: 15, bottom: 1in)[
  设数列 ${a_n}$ 满足 $a_(n+1) / n = a_n / (n+1) + 1 / (n(n+1))$.
  + 证明：${n a_n}$ 为等差数列；
  + 设 $f(x) = a_1x + a_2x^2 + ... + a_m x^m，求 f'(2)$.
]
#question(points: 15, bottom: 2in)[
  如图所示的四棱锥 $P - A B C D$ 中，$P A perp "平面" A B C D, B C parallel A D, A B perp A D$.
  #image("2025-1-17.png", width: 30%)
  + 证明：平面 $P A B perp "平面" P A D$
  + 若 $P A = A B = sqrt(2), A D = sqrt(3) + 1, B C = 2$，$P, B, C, D$ 在同一个球面上，设该球面的球心为 $O$.
    + 证明：$O$ 在平面 $A B C D$上；
    + 求直线 $A C$ 与直线 $P O$ 所成角的余弦值.

]
#question(points: 17, bottom: 2in)[
  设椭圆 $C: x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 (a > b > 0)$，记 $A$为椭圆下端点，$B$ 为右端点，$|A B| = sqrt(10)$，且椭圆 $C$ 的离心率为 $(2sqrt(2)) / 3$.
  + 求椭圆的标准方程；
  + 设点 $P(m, n)$.
    + 若 $P$ 不在 $y$ 轴上，设 $R$ 是射线 $A P$ 上一点，$|A R| dot |A P| = 3$，用 $m, n$ 表示点 $R$ 的坐标；
    + 设直线$O Q$ 的斜率为 $k_1$，直线 $O P$ 的斜率为 $k_2$，若 $k_1 = 3k_2$，$M$为椭圆上一点，求 $|P M|$ 的最大值.
]
#question(points: 17)[
  设函数 $f(x) = 5cos x - cos 5x$.
  + 求 $f(x)$ 在 $[0, pi / 4]$ 的最大值；
  + 给定 $theta in (0, pi)，a$ 为给定实数，证明：存在 $y in [a - theta, a + theta]$，使得 $cos y <= cos theta$；
  + 若存在 $phi$，使得对任意 $x$，都有 $5cos x - cos(5x + phi) <= b$，求 $b$ 的最小值.
]